每日一题: 2020-08-19
题目: 如图在凸四边形$ABCD$ 的两条对角线$AC$ 和$BD$ 上各取两点$E,G$ 和$F,H$, 使得
$AE=GC=\frac{1}{4}AC, BF=HD=\frac{1}{4}BD$. 设$AB,CD,EF,GH$ 的中点分别为$M,N,P,Q$.
证明: $M,P,Q,N$ 四点共线.
参考思路
如图所示, 连结$MN$, 分别交$AC,BD$ 于点$S,R$, 设$AC,BD$相交于点$O$.
直线$SRM$ 截$\triangle OAB$, 直线$RSN$ 截$\triangle OCD$ 应用梅涅劳斯定理, 有
$$\frac{OS}{SA}\cdot \frac{AM}{MB}\cdot \frac{BR}{RO}=1, \frac{OS}{SC}\cdot \frac{CN}{ND}\cdot \frac{DR}{RO}=1$$
而$AM=MB, CN=ND$ 所以可得:
$$\frac{SA}{BR}=\frac{OS}{RO}=\frac{SC}{DR}$$
$$\therefore \frac{SA}{BR}=\frac{SA+SC}{BR+DR}=\frac{AC}{BD}\Rightarrow \frac{SA}{AC}=\frac{BR}{BD}$$
又$ES=SA-AE, AE=\frac{1}{4}AC$, $FR=BR-BF, BF=\frac{1}{4}BD$ 于是,
$$\frac{ES}{FR}=\frac{AC}{BD}=\frac{AS}{BR}=\frac{OS}{OR}$$
因为$EP=PF$, 所以
$$\frac{OS}{SE}\cdot \frac{EP}{PF}\cdot \frac{FR}{RO}=\frac{OS}{OR}\cdot \frac{FR}{ES}=1$$
由梅涅劳斯逆定理知$S,R,P$ 共线, 即$M,P,N$ 三点在一条直线上.
同理$M,Q,N$ 三点在一条直线上, 所以$M,P,Q,N$ 四点共线.
