每日一题: 2020-08-21
题目: 确定自然数$n$ 的值, 使关于$x$ 的一元二次方程$2x^2-8nx+10x-n^2+35n-76=0$ 的两
个根均为质数, 并求出此方程的根.
参考思路
设方程两个根为$x_1,x_2$, 则$x_1+x_2=4n-5$ 由于$4n-5$ 是奇数, $\therefore x_1,x_2$
必一奇一偶, 因为都为质数, 所以$x_1,x_2$必有一个是$2$, 不妨设$x_1=2$, 代入得:
$2\times 2^2-(8n-10)\times 2-(n^2-35n+76)=0\Rightarrow n=3$ 或$n=16$.
当$n=3$ 时, 原方程为: $2x^2-14x+20=0\Rightarrow x_1=2, x_2=5$.
当$n=16$ 时, 原方程为: $2x^2-118x+228=0\Rightarrow x_1=2,x_2=57$.