每日一题: 2020-08-31
题目: 有一袋糖果随意分给$10$ 个小孩, 每个小孩至少分到一块, 证明其中必有一些小孩所
得的糖果之和是$10$ 的倍数.
参考思路
我们证明一般的情况.
把一袋糖果分给$n$ 个小孩, 每个小孩至少分到一块, 则其中必有一些小孩所得的糖果之和是$n$ 的倍数.
设这$n$ 个小朋友分到的糖果数依次为: $a_1,a_2,\cdots,a_n$ (都是正整数).
考虑这些数中的部分和
$S_1=a_1, S_2=a_1+a_2, S_3=a_1+a_2+a_3,\cdots, S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$
若$S_i(i=1,2,\ldots,n)$ 中有一个是$n$ 的倍数, 则本题得证.
若$S_i(i=1,2,\ldots,n)$ 中没有一个$n$ 的倍数, 则这$n$ 个数被$n$ 除的余数只有$1,2,\ldots, n-1$
这$n-1 $种, 而$n$ 个数被$n$ 除, 必有两个对$n$ 同余, 设这两个数是$S_k, S_j (k>j)$,
则$S_k-S_j=(a_1+a_2+\ldots+a_j+a_{j+1}+\ldots+a_k)-(a_1+a_2+\ldots+a_j)$
$ =a_{j+1}+a_{j+2}+\ldots+a_n$
这就是说, 第$j+1,j+2$, 一直到第$k$ 个小孩分到的糖果之和是$n$ 的倍数.