每日一题：2020-09-06

每日一题: 2020-09-06

阅读: 在数学语言中, 把一些对象放在一起考虑时, 就说这些对象组成了一个集合. 这些对象
中的每一个, 都叫作这个集合的一个元素. 例如, 若$S$ 是一个集合, $a$ 是$S$ 的一个元素
, 记作$a\in S$, 读作”$a$ 属于$S$ “. 集合其中一种表示方法是列举法, 将集合中的元素一
一列举出来, 用大括号括起来, 相邻元素用逗号分隔. 例如, 小于$10$ 的正偶数组成的集合,
用列举法可以表示为{$2,4,6,8$}.
题目: 设$A$ 是由一些实数构成的集合, 若$a\in A$, 则$\frac{1}{1-a}\in A$, 且$1\notin A$.
(1) 若$3\in A$, 求集合$A$;
(2) 证明: 若$a\in A$, 则$1-\frac{1}{a}\in A$;
(3) 集合$A$ 中能否只有一个元素? 若能, 求出集合$A$; 若不能, 说明理由.

参考思路

(1) 由$\frac{1}{1-3}=-\frac{1}{2}; \frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{2}{3}; \frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$ 所以$A$={$3,-\frac{1}{2},\frac{2}{3}$}. (2) 证明: $\because a\in A\Rightarrow \frac{1}{1-a}\in A\Rightarrow \frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}=\frac{1-a}{-a}=1-\frac{1}{a}\in A$. (3) 如果集合$A$ 只有一个元素, 则有$a=\frac{1}{1-a}\Rightarrow a^2-a+1=0$. 此二次方 程$\Delta=-3<0$, 没有实数解. 所以不可能只有一个元素.