每日一题：2020-09-11

每日一题: 2020-09-11

题目: 如图,在$\triangle ABC$ 中, $\angle C=90^{\circ},\angle ABC=30^{\circ}$, 点
$D,E$ 分别是$AB,AC$ 的中点, 过点$B$ 作直线$DE$ 的垂线段$BM$, 点$F$ 是直线$ED$ 上一
动点, 作$Rt\triangle BFG$ 使得$\angle BFG=90^{\circ},FGB=30^{\circ}$, 连接$GD$.
(1) 当$F$ 与点$D$ 重合时, 求$\frac{GD}{FM}$ 的值.
(2) 当点$F$ 与点$D$ 不重合时, 请求出$\frac{GD}{FM}$ 的值及两直线$GD,ED$ 夹角锐角的度数.
(3) 当点$F,G,A$ 在同一直线上时, 请求出$\frac{BG}{FA}$ 的值.

参考思路

(1) $\frac{DG}{FM}=2$ (2) $\because \angle GBD=\angle FBM=60^{\circ}-\angle DBF$, 且$\frac{BM}{BD}=\frac{BF}{BG}=\frac{1}{2}$ 得$\triangle \triangle BMF\backsim \triangle BDG\Rightarrow \angle BMF=\angle BDG=90^{\circ}$. 故得$\angle EDG=60^{\circ}$且$\frac{GD}{FM}=\frac{GB}{FB}=2$. (3) 画出图形不难求得$\frac{BG}{FA}=4-2\sqrt{3}$ 或$4+2\sqrt{3}$