每日一题: 2020-09-14
题目: 如图, 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$ 与$x$ 轴交于点$A(4,0),B(-2,0)$, 与$y$
轴交于点$C$, 线段$BC$ 的垂直平分线与对称轴$l$ 交于点$D$, 与$x$ 轴交于点$F$, 与$BC$
交于点$E$. 对称轴$l$ 与$x$ 轴交于点$H$.
(1) 求点$D$ 与点$F$ 的坐标;
(2) 若点$P$ 是抛物线上位于第一象限的一个动点, 当$\angle EFP=45^{\circ}$ 时, 请求出
此时点$P$ 的坐标.
参考思路
(1) 连接$BD,CD$, 设$D(1,m)$, 由线段垂直平分线的性质得$BD=CD$. 由勾股定理得出方程可
得$m=1$, 则$D(1,1)$. 再由$\triangle DHF\backsim \triangle BOC$, 求出$HF=2$, 则
$OF=OH+HF=3\Rightarrow F(3,0)$.
(2) 分别延长$EC$ 与$FP$, 交于点$M$, 过点$E$ 作$EG\bot x$ 轴, 过点$M$ 作$MN\bot EG$
于点$N$, 求出$E(-1,2)$. 证$\triangle EGF\cong \triangle MNE(AAS)$, 得$MN=EG=2,NE=GF=4$,
则$M(1,6)$, 由待定系数法求直线$MF$ 的表达式为$y=-3x+9$, 由直线$MF$ 和抛物线解析式
组成方程组, 解方程组即可得$P(4-\sqrt{6},3\sqrt{6}-3)$.