每日一题: 2020-09-18
题目: 求不等式$(a^2-3a+2)x^2+(a-1)x+2>0$ 的解集是全体实数的充要条件.
参考思路
(1)当$a^2-3a+2=0\Rightarrow a=1$ 或$a=2$.
当$a=1$ 时, 原不等式$2>0$ 恒成立. 所以$a=1$ 符合题意.
当$a=2$ 时, 原不等式为$x+2>0\Rightarrow x>-2$, 所以$a=2$ 不符合题意.
(2) 当$a^2-3a+2\neq 0$ 时, 则
\\[
\\left\\{\\begin{array}{lr} a^2-3a+2\gt 0 \\\\ \Delta=(a-1)^2-8(a^2-3a+2)<0 \\end{array}\\right.\Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{lr} a\lt 1 或 a\gt 2 \\\\ a\lt 1 或 a\gt \frac{15}{7} \\end{array}\\right.
\\]
故$a\lt 1$ 或$a\gt \frac{15}{7}$.
综上可知, 满足题意的充要条件时: $a\leq 1$ 或$a\geq \frac{15}{7}$.