每日一题: 2020-10-11
题目: 设实数$a,b,c,m$ 满足条件$\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}=0$, 且$a\geq 0,m\gt 0$.
求证: 方程$ax^2+bx+c=0$ 有一根$x_0$ 满足$0\lt x_0\lt 1$.
参考思路
(1) 当$a=0$ 时, 若$b\neq 0$, 则$x_0=-\frac{c}{b}=\frac{m}{m+1}$, 满足$0\lt x_0\lt 1$;
若$b=0\Rightarrow c=0$, 这时对一切$x$ 满足方程, 结论成立.
(2) 当$a\gt 0$ 时, 令$f(x)=ax^2+bx+c$, 易求得$f(\frac{m}{m+1})=-\frac{am}{(m+1)(m+2)}<0$
若$c\gt 0$, 则$f(0)=c\gt 0$, 由根在存在性原理知:
必有一根满足$0\lt x_0\lt \frac{m}{m+1}\lt 1$;
若$c\leq 0$, 则
$$
f(1)=a+b+c=(m+2)\cdot \frac{a}{m+2}+(m+1)\cdot \frac{b}{m+1}+m\cdot \frac{c}{m}
$$
$$
=\frac{a}{m+2}+(m+1)(\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m})-\frac{c}{m}=\frac{a}{m+2}-\frac{c}{m}>0
$$
故必有一根$x_0$ 满足$0\lt \frac{1}{m+1}\lt x_0\lt 1$.