每日一题: 2020-10-18
题目: 如图所示, $AD\parallel BC$, 梯形$ABCD$ 的面积是$180$, $E$ 是$AB$ 的中点, $F$
是$BC$ 边上的点, 且$AF\parallel CD$, $AF$ 分别交$ED,BD$ 于$G,H$. 设$\frac{BC}{AD}=m$, $m$ 是整数.
(1) 若$m=2$, 求$\triangle GHD$ 的面积;
(2) 若$\triangle GHD$ 的面积为整数, 求$m$ 的值.
参考思路
(1) 易得$H$ 为$BD$ 中点, 又$E$ 是$AB$ 的中点, 故$G$ 为$\triangle ABD$ 的重心, 因此$GH=\frac{1}{2}AG$.
$\therefore S_{\triangle ABD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}=60$, $S_{\triangle AHD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=30$,
$S_{\triangle GHD}=\frac{1}{3}S_{\triangle AHD}=10$
(2)作$BK\parallel AF$ 交$ED$ 于$K$, 则$\triangle KEB\cong \triangle GEA$
$\therefore AG=KB$,
$\therefore \frac{GH}{AG}=\frac{GH}{KB}=\frac{HD}{BD}=\frac{FC}{BC}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{m}$
$\therefore S_{\triangle ABD}:S_{\triangle BCD}=1:m\Rightarrow S_{\triangle ABD}=\frac{1}{m+1}S_{ABCD}$
$=\frac{180}{m+1}\cdot S_{\triangle AHD}=\frac{1}{m}S_{\triangle ABD}=\frac{180}{m(m+1)}$
$\therefore S_{GHD}=\frac{1}{m+1}S_{\triangle AHD}=\frac{180}{m(m+1)^2}$
即$\frac{180}{m(m+1)^2}$ 为整数, 因为$180=2^2\times 3^2\times 5\Rightarrow m+1=2,3$ 或$6$
经验证, $m+1=3$ 或$6$, 即$m=2$ 或$5$.
