每日一题：2020-10-31

每日一题: 2020-10-31

题目: 如图, 已知$\triangle ABC$ 是边长为$a$ 的正三角形, $P$ 为$\triangle ABC$ 外接圆上弧$BC$ 上任一点
求证: $PA^2+PB^2+PC^2$ 是一个定值.

参考思路

易证$PA=PB+PC\Rightarrow PA^2+PB^2+PC^2=2(PB^2+PC^2+PB\cdot PC)$.
过$C$ 作$CT\bot BP$ 的延长线于点$T$. 在直角三角形$\triangle CPT$ 中, $PT=\frac{1}{2}PC$, $CT=\frac{\sqrt{3}}{2}PC$
所以$BC^2=BT^2+CT^2=(PB+\frac{1}{2}Pc)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}PC)^2=PB^2+PC^2+PB\cdot PC$

所以可得$PA^2+PB^2+PC^2=2a^2$ (为定值).