每日一题: 2020-11-06
题目: 如图, 已知$\triangle ABC$ 中$AB=BC, \angle ACB=120^{\circ}$, $P$ 为$\triangle ABC$
内部一点, 且满足$\angle APB=\angle PBC=150^{\circ}$.
(1) 求证: $\triangle PAB\backsim \triangle PBC$;
(2) 求证: $PA=3PC$;
(3) 若$AB=10$, 求$PA$ 的长.
参考思路
(1) 由已知易得$\angle PAB=30^{\circ}-\angle PBA=\angle PBC$, 所以$\triangle PAB\backsim \triangle PBC$.
(2) 易得$\frac{AB}{BC}=\sqrt{3}$. 由$\triangle PAB\backsim \triangle PBC\Rightarrow \frac{PA}{PB}=\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{BC}=\sqrt{3}$ ,可得结论.
(3) 如图, 将线段$BP$ 绕点$B$ 顺时针旋转$60^{\circ}$ 得到$BP'$, 连结$PP',CP'$, 则$\triangle BPP'$ 为正三角形.
$\therefore \angle 4=\angle 7=60^{\circ}, PP'=PB=BP'=\sqrt{3}PC$,
$\therefore \angle 5=\angle BPC-\angle 4=150^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$,
在$Rt \triangle PP'C$ 中, $\angle 5=90^{\circ}, PP'=\sqrt{3}PC\Rightarrow \tan\angle 6=\frac{PC}{PP'}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\therefore \angle 6=60^{\circ}\Rightarrow \angle 6+\angle 7=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$.
$\therefore P'C=2PC$.
$\therefore $ 在$Rt\triangle BCP'$ 中, $P'C=2PC, BP'=\sqrt{3}PC$.
由(2) 中$\frac{AB}{BC}=\sqrt{3}, AB=10\Rightarrow BC=\frac{10}{\sqrt{3}}$
$\therefore (2PC)^2+(\sqrt{3}PC)^2=(\frac{10}{\sqrt{3}})^2\Rightarrow PC=\frac{10\sqrt{21}}{21}$
$\therefore PA=\frac{10\sqrt{21}}{7}$
