每日一题:2020-03-05
题目:
如图, 正方形$ABCD$ 被两条与边平行的线段$EF,GH$ 分割成四个小矩形, $P$ 是$EF$ 与
$GH$ 的交点, 若矩形$PFCH$ 的面积恰好是矩形$AGPE$ 的面积的$2$ 倍, 试确定$\angle HAF$ 的
大小并证明你的结论.
参考答案
猜测$\angle FAH=45^{\circ}$. 证明如下：
如图, 设$AE=x,ED=y,DH=a,HC=b$, 则有
$$x+y=a+b, 2ax=by$$
因此有$x-a=b-y\Rightarrow x^2+a^2-2ax=b^2+y^2-2by\Rightarrow (a+x)^2=b^2+y^2$.
即$a+x=\sqrt{b^2+y^2} \Rightarrow DH+BF=FH$.
延长$CB$ 到$M$, 使得$BM=DHf$, 连结$AM$. $\because Rt\triangle AMB\cong Rt\triangle AHD$, 易得$\angle MAH=90^{\circ}$, $\triangle AMF \cong \triangle AHF(SSS)$.
所以$\angle MAF=\angle HAF$. 即$HAF=\frac{1}{2} \angle MAH=45^{\circ}$.
