每日一题：2020-03-26

每日一题: 2020-03-26
题目:
如图所示, 在平行四边形$ABCD$ 中, $\angle BAD$ 的平分线分别与$BC,DC$ 所在直线交于
点$E,F$. 点$O$ 为$\triangle CEF$ 的外心.
求证: $\angle OBD=\frac{1}{2}\angle ABC$.

参考思路

如图所示, 连结$OE,OF,OC,OD$, $\because AF$ 平分$\angle BAD$, 且$AB\parallel CD, AD\parallel BC\Rightarrow AB=BE, CE=CF$, 又因为$O$ 为外心, 因此有$OC=OE, \angle OCE=\angle OEc=\angle OCF$, 所以有$\angle BEO=\angle OCD$, 且 $BE=BA=CD\Rightarrow \triangle BOE\cong DOC(SAS)$, 得: $\angle BOE=\angle DOC$ 且$OB=OD$. 所以可得$\angle EOC=\angle BOD$, 故$\angle DBO=\angle OCE= \frac{1}{2}\angle BCC=\frac{1}{2}\angle ABC$.