每日一题：2020-03-27

每日一题: 2020-03-27

题目:
如图所示, 已知四边形$ABCD$ 为正方形, $\triangle AEF$ 为等边三角形, $E,M$ 在线
段$BC$ 上且$BE=CM$, $F$ 在线段$CD$ 上, $AC$ 与$EF$ 交于点$N$.

(1) 证明: $S{\triangle ABE}+S{\triangle ADF}=S_{\triangle CEF}$;
(2) 证明: $NM\parallel AE$.

参考思路

显然有$\triangle ABE\cong \triangle ADF(HL)\Rightarrow CE=CF, AC\bot EF$. 设$EN=FN=a\Rightarrow NC=a, AE=AF=2a$, 由勾股定理可得$CE=CF=\sqrt{2}a, NA=\sqrt{3}a, AB=BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}a$. 所以可得$BE=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}a$. 所以: $S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}a\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}a =\frac{a^2}{2}=S_{\triangle CEN}$. 所以(1)得证. (2) 连结$AM$, $\because BE=CM\Rightarrow S_{ABE}=S_{ACM}\Rightarrow S_{ANM}=S_{ENM}\Rightarrow NM\parallel AE$.