每日一题: 2020-03-30
题目:
如图所示已知$\triangle ABC$ 的周长为$2020$, $P$ 为 线段$AB$ 上一点(不含端点),
一只小青蛙从点$P$ 出发, 沿着$P\to P_1\to p_2\to P_3\to \cdots$一直走, 请问: 这
只青蛙是否会在某个时刻回到$P$ 点, 若不能,请说明理由; 若能,请求出它回到$P$ 点所
经过路程的最小值. 已知$PP_1\parallel BC, P_1P_2\parallel AB, P_2P_3\parallel
AC, \cdots$.
参考思路
如图所示,当点$P$ 为$AB$ 中点时, 显然回到起点所走过的路程为$\frac{2020}{2}=1010$.
当$P$ 不是$AB$ 的中点时, 如图所示, 经过六步后$P_6$ 会回到起点,
易证四边形$PP_1P_2B, AP_1P_2 P_3, P_3P_4P_5B, CP_2P_3P_4, AP_4P_5P_P, PP_1CP_5$均为平行四边形, 所以$PP_1=BP_2,P_1P_2=AP_3, P_3P_4=P_2C, P_4P_5=AP, P_5P_6=CP_1$, 所以$PP_1+P_1P_2+P_2P_3+P_3P_4+P_4P_5+P_5P_6=AB+BC+CA=2020$.
综上: 小青蛙一定能回到起点, 当起点在$AB$ 中点时, 最小路程是$1010$, 当起点不在
$AB$ 中点时,最小路程为$2020$.
