每日一题: 2020-03-31
题目:
如图, 直线$y=\frac{3}{4}x+6$ 与$x$ 轴, $y$ 轴分别相交于点$E,F$, 点$A$ 的坐标为
$(-6,0)$, $P(x,y)$ 是直线$y=\frac{3}{4}x+6$ 上一个动点.
(1) 在点$P$ 运动过程中, 试写出$\triangle OPA$ 的面积$s$ 与$x$ 的函数关系式;
(2) 当$P$ 运动到什么位置, $\triangle OPA$ 的面积为$\frac{27}{8}$. 求出此时点$P$ 的坐标;
(3) 过$P$ 作$EF$ 的垂线分别交$x$ 轴, $y$ 轴于$C,D$. 是否存在这样的点$P$, 使
$\triangle COD\cong \triangle FOE$? 若存在, 直接写出此时点$P$ 的坐标; 若不存在
,请说明理由.
参考思路
(1) 易得$F(0,6),E(-8,0)$, $s=S_{OPA}=\frac{1}{2}\times OA\times |y_{P}|=3\times |\frac{3}{4}x+6|$.
所以有
\\[
s=\\left\\{\\begin{array}{lr} \\frac{9}{4}x+18 & x>-8 \\\\ -\\frac{9}{4}x-18 & x<-8 \\end{array}\\right.
\\]
(2) 由$\frac{9}{4}x+18=\frac{27}{8}\Rightarrow x=\frac{-117}{18}\Rightarrow
P_1\left( -\frac{117}{18},\frac{9}{8} \right)$,
由$-\frac{9}{4}x-18 =\frac{27}{8}\Rightarrow x=-\frac{171}{18}\Rightarrow
P_2\left( -\frac{171}{18}, -\frac{9}{8} \right)$.
(3)当过$P$ 的垂线交于坐标轴负半轴时, 由已知得$C(-6,0), D(0,-8)$, 过$C,D$ 的直
线方程为$y=-\frac{4}{3}-8$, 联立$y=\frac{3}{4}x+6$ 可解得$\left( -\frac{168}{26},\frac{24}{25} \right)$,
当过$P$ 的垂线交于坐标轴正半轴时, 由已知得$C(6,0), D(0,8)$, 过$C,D$ 的直线方程
为$y=-\frac{4}{3}+8$, 联立$y=\frac{3}{4}x+6$, 解得: $\left( \frac{24}{25}, \frac{168}{25}\right)$.