每日一题: 2020-05-09
题目:
如图所示, 在正方形$ABCD$ 中, 点$E,F$ 分别在$BC,CD$ 上, $EAF=45^{\circ}$, 直线
$AE$ 与$DC$ 交于点$G$, $AF$ 与$BC$ 交于点$H$. 求证: $S{\triangle GCH}-S{\triangle CEF}=2S_{\triangle AEF}$.
参考思路
如图所示, 以$C$ 为原点, $CB$ 所在直线为$x$ 轴, $CD$ 所在直线为$y$ 轴建立坐标系,
设$AB=1,CE=a,CF=b\Rightarrow 0\lt a\lt 1, 0\lt b\lt 1, A(-1,1),E(-a,0),F(0,b)$.
易求得直线$AF$ 的方程为: $y=(b-1)x+b$, 令$y=0\Rightarrow x=\frac{b}{1-b}$;
直线$AE$ 的直线方程为: $y=\frac{1}{a-1}(x+a)$, 令$x=0\Rightarrow y=\frac{a}{a-1}$.
因此有$CH=\frac{b}{1-b}, CG=\frac{a}{1-a}$.
由熟知结论知$BE+DF=EF, S_{\triangle AEF}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ADF}$.
在直角三角形$\triangle CEF$ 中$EF^2=CE^2+CF^2\Rightarrow (1-a+1-b)^2=a^2+b^2\Rightarrow ab=2a+2b-2$.
另一方面$S_{\triangle CGH}=\frac{1}{2}CH\cdot CG=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{1-a}\cdot \frac{b}{1-b}=\frac{ab}{2-2a-2b+2ab}=1$.
又$S_{\triangle CEF}+2S_{\triangle AEF}=S_{ABCD}=1\Rightarrow S_{\triangle GCH}-S_{\triangle CEF}=2S_{\triangle AEF}$
