每日一题：2020-05-13

每日一题: 2020-05-13

题目: 已知关于$x$ 的方程$mx^2+nx+p=0$ (其中$m,n,p$ 为有理数且$m\neq 0$ ), 它的
一个根是$a+\sqrt{b}$ ($a,b$ 均为有理数, 且$b$ 不是某有理数的平方).
求证: $a-\sqrt{b}$ 也是方程的一个根.

参考思路

因为$a+\sqrt{b}$ 是方程的根, 所以有$m(a+\sqrt{b})^2+n(a+\sqrt{b})+p=0\Rightarrow m(a^2+b+2a\sqrt{b})+na+n\sqrt{b}+p=0$.
化简可得:
\[
(ma^2+mb+na+p)+(2ma+n)\sqrt{b}=0
\]
由于$ma^2+mb+na+p$ 与$2ma+n$ 为有理数, $\sqrt{b}$ 为无理数, 所以有
\[
ma+mb+na+p=0, 2ma+n=0
\]

当$x=a-\sqrt{b}$ 时, 代入

mx^2+nx+p=m(a-\sqrt{b})^2+n(a-\sqrt{b})+p=(ma^2+mb+na+p)-(2ma+n)\sqrt{b}=0$$. 所以$x=a-\sqrt{b}$ 也是原方程的根.