每日一题: 2020-05-21
题目: 设实数$s,t$ 分别满足$19s^2+99s+1=0, t^2+99t+19=0$, 并且$st\neq 1$.
求$\frac{st+4s+1}{t}$ 的值.
参考思路
显然$t\neq 0$, 将方程$t^2+99t+19=0$ 左右两边同时除以$t^2$ 得$19\cdot \frac{1}{t^2}+99\cdot \frac{1}{t}+1=0$.
因为$st\neq 1$, 所以$\frac{1}{t},s$ 是下面关于$x$ 的二次方程$19x^2+99x+1=0$ 的两
个实数根. 由韦达定理得: $\frac{1}{t}+s=-\frac{99}{19}, \frac{1}{t}\cdot s=\frac{1}{19}$.
所以$\frac{st+4s+1}{t}=s+\frac{1}{t}+4s\cdot \frac{1}{t}=-\frac{99}{19}+\frac{4}{19}=-5$.