每日一题：2020-05-22

每日一题: 2020-05-22

题目: 若关于$x$ 的一元二次方程$3x^2+3(a+b)x+4ab=0$ 的两根$x_1,x_2$ 满足关系式
$x_1(x_1+1)+x_2(x_2+1)=(x_1+1)(x_2+1)$, 试判断$(a+b)^2\leq 4$ 是否正确, 若正确, 加
以证明; 若不正确, 请举一反例.

参考思路

因为方程有实根, 所以$\Delta=9(a+b)^2-48ab\geq 0$, 由根与系数关系可得: $$x_1+x_2=-(a+b), x_1\cdot x_2=\frac{4ab}{3}$$ 又$x_1^2+x_2^2+(x_1+x_2)=x_1x_2+x_1x_2+1\Rightarrow (x_1+x_2)^2=3x_1x_2+1$, 代入得 \\[ (a+b)^2=4ab+1 \\]将上式代入$\Delta$ 得$36ab+9-48ab\geq 0\Rightarrow ab\leq \frac{3}{4}$. 因此有 \\[ (a+b)^2=4ab+1\leq 4\cdot \frac{3}{4}+1=4 \\] 所证成立