每日一题: 2020-05-23
题目: 求所有的实数$k$, 使关于$x$ 的二次方程$kx^2+(k+1)x+(k-1)=0$的两根都是整数.
参考思路
设方程两根为$x_1,x_2$, 根据韦达定理有
\\[
x_1+x_2=-\frac{k+1}{k}=-1-\frac{1}{k}; x_1\cdot x_2=\frac{k+1}{k}=1-\frac{1}{k}
\\]
所以有$x_1x_2-(x_1+x_2)=2\Rightarrow x_1x_2-(x_1+x_2)+1=3\Rightarrow (x_1-1)(x_2-1)=3$.
因此得
\\[
\\left\\{\\begin{array}{lr} x_1-1=1 \\\\ x_2-1=3 \\end{array}\\right. 或\\left\\{\\begin{array}{lr} x_1-1=3 \\\\ x_2-1=1 \\end{array}\\right. 或 \\left\\{\\begin{array}{lr} x_1-1=-1 \\\\ x_2-1=-3 \\end{array}\\right. 或\\left\\{\\begin{array}{lr} x_1-1=-3 \\\\ x_2-1=-1 \\end{array}\\right.
\\]
可以解得$k=-\frac{1}{7}$ 或$k=1$.
将$k$ 代入$\Delta=(k+1)^2-4k(k-1)$ 检验知$k=1$ 或$k=-\frac{1}{7}$ 满足要求.