每日一题: 2020-06-04
题目: 设方程$x^2-px+q=0, x^2-qx+p=0$ 的根都是正整数, 求正整数$p,q$ 的值.
参考思路
设方程$x^2-px+q=0$ 的两根为$x_1,x_2$; 方程$x^2-qx+p=0$ 的两根为$x_3,x_4$.
由韦达定理, 有$x_1+x_2=p, x_1x_2=q, x_3+x_4=q, x_3x_4=p$
所以$x_1+x_2=x_3x_4, x_1x_2=x_3+x_4\Rightarrow x_1x_2-x_1-x_2+x_3x_4-x_3-x_4=0$
因此有$(x_1-1)(x_2-1)+(x_3-1)(x_4-1)=2$, 所以$(x_1-1)(x_2-1)=2,1,0$ 时,
$(x_3-1)(x_4-1)$ 相应取$0,1,2$.
\\[
\\left\\{\\begin{array}{lr} (x_1-1)(x_2-1)=2 \\\\ (x_3-1)(x_4-1)=0 \\end{array}\\right.\Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{lr} p=5 \\\\ q=6 \\end{array}\\right.
\\]
同理可求得另外两组解, 综上
\\[
\\left\\{\\begin{array}{lr} p=5 \\\\ q=6 \\end{array}\\right., \\left\\{\\begin{array}{lr} p=4 \\\\ q=4 \\end{array}\\right., \\left\\{\\begin{array}{lr} p=6 \\\\ q=5 \\end{array}\\right.
\\]