题目: 2020-06-09
题目: 已知实数$a,b,c$ 满足$a\leq b\leq c$, 且$ab+bc+ca=0, abc=1$. 求证: $|a+b|\geq 4|c|$.
参考思路
由已知$a,b,c$ 都不等于$0$, 且$c>0$. 因为$ab=\frac{1}{c}>0, a+b=-\frac{1}{c^2}<0$.
所以$a\leq b<0$. 由一元二次方程根与系数关系知, $a,b$ 是一元二次方程$x^2+\frac{1}{c^2}x+\frac{1}{c}=0$
的两个实数根, 于是$\Delta=\frac{1}{c^4}-\frac{4}{c}\geq 0\Rightarrow c^3\leq \frac{1}{4}$.
因此$|a+b|=-(a+b)=\frac{1}{c^2}\geq 4c=4|c|$.