每日一题: 2020-06-09
题目: 已知实数$x,y$ 满足$\frac{4}{x^4}-\frac{2}{x^2}=3, y^4+y^2=3$,求$\frac{4}{x^4}+y^4$ 的值.
参考思路
因为$\frac{4}{x^4}-\frac{2}{x^2}=3\Rightarrow (-\frac{2}{x^2})^2+(-\frac{2}{x^2})=3$;
又$y^4+y^2=3\Rightarrow (y^2)^2+y^2=3$, 且$-\frac{2}{x^2}<0, y^2\geq 0$, 所以
$-\frac{2}{x^2}, y^2$ 是一元二次方程$t^2+t-3=0$ 的两个不等实根.
由韦达定理: $-\frac{2}{x^2}+y^2=-1, -\frac{2}{x^2}\cdot y^2=-3$
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\therefore \frac{4}{x^4}+y^4=(-\frac{2}{x^2}+y^2)^2-2(-\frac{2}{x^2}\cdot y^2)=1+6=7.
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