每日一题: 2020-06-10
题目: 若方程$x^2+2ax+b^2=0$ 与$x^2+2cx-b^2=0$ 有一个相同的根, 且$a,b,c$ 为一个三角
形的三条边, 说明三角形的形状.
参考思路
设$\alpha$ 为方程的公共根, 所以
\\[
\\left\\{\\begin{array}{lr} \alpha^2+2a\alpha+b^2=0 \\\\ \alpha^2+2c\alpha-b^2=0 \\end{array}\\right.
\\]
两式相减得$2(a-c)\alpha=-2b^2$, 若$a=c\Rightarrow b=0$ 不可能为三角形的边, 所以$a\neq c$
因此有$\alpha=\frac{-b^2}{a-c}$.
将上两式相加得$2\alpha^2+2(a+c)\alpha=0\Rightarrow \alpha=0$ 或$\alpha=-a-c$,
显然$\alpha\neq 0$ (否则$b=0$ ), 所以$\alpha=-a-c$.
$\therefore \frac{-b^2}{a-c}=-a-c\Rightarrow b^2=a^2-c^2\Rightarrow a^2=c^2+b^2$
所以三角形为直角三角形.