每日一题: 2020-06-24
题目: 已知二次函数$y=ax^2+(2a-1)x-3$ 在$-\frac{3}{2}\leq x\leq 2$ 上的最大值为$1$,
求$a$ 的值.
参考思路
二次函数的对称轴方程为$x=\frac{1-2a}{2a}$. 函数最大值只可能在$x=-\frac{3}{2},x=2,x=\frac{1-2a}{2a}$ 取得.
下面逐一检验.
(1) 若最大值$1$ 在$x=-\frac{3}{2}$ 取得, 由此解得$a=-\frac{10}{3}$, 但此时$\frac{1-2a}{2a}=-\frac{23}{20}$
在自变量的取值范围内, 故最大值应在$x=-\frac{23}{20}$ 取得. 所以这种情况不会出现.
(2) 若最大值$1$ 在$x=2$ 取得, 解得$a=\frac{3}{4}$, 此时对称轴为$x=-\frac{1}{3}$,而
$|2-(-\frac{1}{3})|>|-\frac{1}{3}-(-\frac{3}{2})|$, 故$y$ 在$x=2$ 处的值的确时函数
最大值, 即$a=\frac{3}{4}$ 是符合题意得一个解.
(3) 若最大值$1$ 在$x=\frac{1-2a}{2a}$ 取得, 得$a=\frac{1}{2}(-3\pm 2\sqrt{2})$,
注意, 此时必须$a<0$ 且$-\frac{3}{2}\leq \frac{1-2a}{2a}\leq 2$, 易知只有$a=-\frac{1}{2}(3+2\sqrt{2})$
符合要求.
综上, 所求的解是$a=\frac{3}{4}$ 或$a=-\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$.