每日一题: 2020-06-25
题目: 如图, 五边形$ABCDE$ 是边长为$4$ 的正方形截去一个角得到的, $AF=2,BF=1$.
试在$AB$ 上求一点, 使得矩形$PNDM$ 面积最大.
参考思路
以$D$ 为原点, $DC$ 所在直线为$x$ 轴, $DE$ 所在直线为$y$ 轴建立平面直角坐标系, 所以
$A,B$ 的坐标分别为$A(2,4),B(4,3)$, 设$AB$ 所在的直线方程为$y=kx+b$, 代入$A,B$ 可解
得$k=-\frac{1}{2}, b=b$, 所以线段$AB$ 的解析式$y=-\frac{x}{2}+5 (2\leq x\leq 4)$
设$P(x,y)$. 所以$S=xy=x(5-\frac{x}{2})=-\frac{1}{2}(x-5)^2+\frac{25}{2}$, 当$x<5$
时$S$ 随$x$ 的增大而增大, 所以当$x=4$ 时$S$ 取得最大值$12$.