每日一题: 2020-08-02
题目: 国际象棋比赛中, 共$8$ 名选手进行单循环比赛, 每赛一局胜者得$1$ 分, 负者得$0$
分, 平局各得$0.5$ 分, 赛完后, 发现各选手得分各不相同, 当选手得分由大到小排列了名次
后, 第$4$ 名选手得分$4.5$ 分, 第$2$ 名选手得分等于最后四名选手得分的总和, 前三名选
手各得几分? 请说明理由.
参考思路
$8$ 名选手共赛了$\frac{8\times 7}{2}=28$ 局, 共$28$ 分, 若前三名选手得分分别为$a_1,a_2,a_3$,
那么根据题意应有$a_1+a_2+a_3+4.5+a_2=28\Rightarrow a_1+2a_2+a_3=23.5$
注意到每局得分只有$0,0.5,1$ 三中情况, 可见$2a_2$ 是整数, 所以$a_1,a_3$ 中一个是整
数, 另一个是小数, 由于得分最多是$7$ 分, 所以$7\geq a_1\gt a_2\gt a_3\gt 4.5$
再由$a_1+2a_2+a_3=23.5\Rightarrow 4a_1\gt 23.5, 4a_3\lt 23.5\Rightarrow a_1\gt 5.875, a_3\lt 5.875$
因此$7\geq a_1\geq 6, 6\gt a_3\geq 5\Rightarrow a_3=5$ 或$a_3=5.5$.
当$a_3=5$ 时, $a_1=6.5\Rightarrow 2a_2=12$,故$a_2=6$;
当$a_3=5.5$ 时, $a_1=7\Rightarrow 2a_2=11\Rightarrow a_2=5.5$ 与$a_3$ 相等, 不合题意.
综上所述, 前三名的得分分别是: $6.6$ 分, $6$ 分, $5$ 分.