每日一题: 2020-08-03
题目: 已知实数$a,b,c,d$ 互不相等, 且$a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{d}=d+\frac{1}{a}=x$,
试求$x$ 的值.
参考思路
由已知有: $a+\frac{1}{b}=x,b+\frac{1}{c}=x,c+\frac{1}{d}=x,d+\frac{1}{a}=x$, 得
$b=\frac{1}{x-a}$ 代入$b+\frac{1}{c}=x\Rightarrow c=\frac{x-a}{x^2-ax+1}$ 代入
$c+\frac{1}{d}=x\Rightarrow \frac{x-a}{x^2-ax-1}+\frac{1}{d}=x$ 整理得:
$dx^3-(ad+1)x^2-(2d-a)x+ad+1=0$, 再由$d+\frac{1}{a}=x\Rightarrow ad+1=ax$ 代入上式得:
$(d-a)(x^3-2x)=0$, 因为$d\neq a$, 所以$ x^3-2x=0$,
若$x=0\Rightarrow a=c$矛盾!
故有: $x^2=2\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$.