每日一题：2020-08-23

每日一题: 2020-08-23

题目: 已知关于$x$ 的一元二次方程$x^2+bx+c=0$,
(1) 若$b,c$ 是这个方程的两个不同的根, 求$b,c$ 的值;
(2) 设$\alpha,\beta$ 是这个方程的两个根, 分解因式:
$[x^2+(b+1)x+c]^2+b[x^2+(b+1)x+c]+c$

参考思路

(1)由韦达定理的$b+c=-b,bc=c\Rightarrow $ 若$c=0$, 则$b=0$, 矛盾! 所以$c\neq 0$, 得$b=1,c=-2$. (2) 原式=$[(x^2+bx+c)+x]^2+b[(x^2+bx+c)+x]+c$ $=(x^2+bx+c)^2+(2x+b)(x^2+bx+c)+x^2+bx+c$ $=(x^2+bx+c)(x^2+bx+c+2x+b+1)$ $=(x^2+bx+c)[(x^2+bx+c)+2x-(\alpha+\beta)+1]$ $=(x-\alpha)(x-\beta)[(x-\alpha)(x-\beta)+(x-\alpha)+(x-\beta)+1]$ $=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\alpha+1)(x-\beta+1)$