每日一题: 2020-08-24
题目: 如果对于一切$x$ 的整数值, $x$ 的二次三项式$ax^2+bx+c$ 的值都是平方数(即整数
的平方). 证明: $2a,2b,c$ 都是整数.
参考思路
$\because $ 对一切$x$ 的整数值$ax^2+bx+c$ 的值都是平方数.
令$x=0\Rightarrow c$ 是平方数. $\therefore c$ 是整数.
令$x=1\Rightarrow a+b+c$ 是平方数,
令$x=-1\Rightarrow a-b+c$ 是平方数.
所以设$a+b+c=m^2, a-b+c=n^2, c=k^2$ (其中$m,n,k$ 是整数).
前两式相减得$2b=m^2-n^2$ 所以$2b$ 为整数($\because m,n$ 为整数);
将$2b=m^2-n^2, c=k^2$ 代入$2a=2m^2-2b-2c=2m^2-(m^2-n^2)-2k^2=m^2+n^2-2k^2$ 为整数.