每日一题: 2020-08-25
题目: 已知: $P\gt 3$, 且为质数, 求证: $24\mid P^2-1$
参考思路
证明: 对所有整数按模$6$ 的余数分类, 则质数$P$ 只能为$6k+1$ 和$6k+5$ 两类.
当$P=6k+1$ 时, $P^2-1=(6k+1)^2-1=36k^2+12k=12k(3k+1)$
若$k$ 为偶数, 则$24\mid 12k\Rightarrow 24\mid P^2-1$;
若$k$ 为奇数, 则$3k+1$ 为偶数, 也有$24\mid P^2-1$.
当$P=6k+5$ 时, $P^2-1=(6k+5)^2-1=36k^2+60k+24=12k(3k+5)+24$
若$k$ 为偶数, 则有$24\mid P^2-1$;
若$k$ 为奇数, 则$3k+5$ 为偶数, 也有$24\mid P^2-1$
综上, 总有$24\mid P^2-1$