每日一题: 2020-08-27
题目: 试证不存在满足下列条件的二次多项式$p(x)$.
(1) 当 $-1\leq x\leq 1$ 时总有$|p(x)|\leq 1$;
(2) $|p(2)|>8$.
但可找到一个二次多项式$q(x)$ 满足上述条件(1)而且$q(2)=7$.
参考思路
设二次多项式$p(x)=ax^2+bx+c$ 满足条件(1), 显然有$|p(0)|\leq 1\Rightarrow |c|\leq 1$.
又由于$p(1)=a+b+c,p(-1)=a-b+c\Rightarrow 2b=p(1)-p(-1)$
$\Rightarrow |2b|\leq |p(1)|+|p(-1)|\leq 2\Rightarrow |b|\leq 1$.
再$2a=p(1)+p(-1)-2c\Rightarrow |2a|\leq |p(1)|+|p(-1)|+2|c|\leq 4$
$\Rightarrow |a|\leq 2$
所以$p(2)=4a+2b+c=p(1)+3a+b\leq |p(1)|+3|a|+|b|\leq 1+6+1=8$.
因此$p(x)$ 不可能满足条件 (2), 即同时满足(1)(2)的二次多项式是不存在的.
易知: $q(x)=2x^2-1$ 满足条件(1) 并且$q(2)=7$.