每日一题: 2020-08-28
题目: 实数$a,b,c$ 满足$(a+c)(a+b+c)\lt 0$.
证明: $(b-c)^2>4a(a+b+c)$.
参考思路
构造二次函数$f(x)=ax^2+(b-c)x+(a+b+c)$.
所以$f(0)=a+b+c$, $f(-1)=a-(b-c)+(a+b+c)=2(a+c)$.
因此有 $f(0)\cdot f(-1)=2(a+c)(a+b+c)<0$, 即$f(x)$ 在$-1 \lt x\lt 0$ 范围内必有零
点, 所以函数$f(x)$ 必于$x$ 轴相交, 就是说, 二次方程$ax^2+(b-c)x+(a+b+c)=0$ 有两个
不同的实数根, 因此, 它的判别式大于零, 所以
$(b-c)^2-4a(a+b+c)>0$