每日一题: 2020-09-23
题目: 设$a,b$ 及$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 都是整数, 证明: $\sqrt{a}$ 及$\sqrt{b}$ 都是整数.
参考思路
先证一个引理: 若$n$ 是正整数, 且$\sqrt{n}$ 是有理数, 则$n$ 是完全平方数.
设$\sqrt{n}=\frac{p}{q}, p,q$ 为互质的正整数, 则$nq^2=p^2$.
从而$q^2\mid p^2\Rightarrow q\mid p\Rightarrow q=1$, 所以$n=p^2$. 引理得证.
回到本题, 由题设知$a,b$ 为非负整数, 当$a=0$ 或$b=0$ 时, 易知结论成立.
当$a,b$ 都是正整数时, 由$\sqrt{b}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a}$ 两边平方,得
$b=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})+a\Rightarrow \sqrt{a}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2+a-b}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$
由题设知, $\sqrt{a}$ 是有理数, 结合引理, $a$ 是完全平方数, 故$\sqrt{a}$ 是整数.
同理$\sqrt{b}$ 也是整数.