每日一题: 2020-09-24
题目: $[x]$ 表示不超过实数$x$ 的最大整数, 令{$x$}=$x-[x]$.
(1) 找出一个实数 $x$, 满足{$x$}+{$\frac{1}{x}$}=$1$;
(2) 证明: 满足上述等式的$x$, 都不是有理数.
参考思路
(1) 取$x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$, 则$\frac{1}{x}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,
于是{$x$}=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}-2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, {$\frac{1}{x}$}=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
所以有: {$x$}+{$\frac{1}{x}$}=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}=1$.
(2) 设$x=m+\alpha, \frac{1}{x}=n+\beta$, 其中$m,n$ 是整数, $0\leq \alpha,\beta<1$.
则$\alpha+\beta=1, x+\frac{1}{x}=m+n+1$ 于是有: $x^2-(m+n+1)x+1=0$.
得$x=\frac{1}{2}(m+n+1\pm \sqrt{(m+n+1)^2-4})$
当$(m+n+1)^2=4$ 时, $x=\pm 1$, 均不满足要求.
当$(m+n+1)^2>4$ 时, 若$(m+n+1)^2-4=k^2$, (其中$k$ 为正整数), 则
$(m+n+1-k)(m+n+1+k)=4$,
由于$m+n+1-k\lt m+n+1+k$, 且他们同奇偶, 所以
\\[
\\left\\{\\begin{array}{lr} m+n+1-k=-2 \\\\ m+n+1+k=-2 \\end{array}\\right. 或
\\left\\{\\begin{array}{lr} m+n+1-k=2 \\\\ m+n+1+k=2 \\end{array}\\right.
\\]
均不能成立, 故$(m+n+1)^2-4$ 不是完全平方数, 从而$x$ 是无理数.