每日一题: 2020-10-21
题目: 已知抛物线$L: y=-\frac{1}{2}(x-t)(x-t+4)$ (常数$t\gt 0$) 与双曲线$y=\frac{6}{x}$
有个交点的横坐标为$x_0$, 且满足$4\leq x_0\leq 6$, 通过$L$ 位置随$t$ 变化的过程, 求
出$t$ 的取值范围.
参考思路
如图, 双曲线在$4\leq x_0\leq 6$ 时, $1\leq y_0\leq \frac{3}{2}$, 所以$L$ 与双曲线
在点$C(4,\frac{3}{2}), D(6,1)$ 之间的一段有个交点, 因为抛物线与$x$ 轴的两个交点为
$(t,0), (t-4,0)(t-4\lt t)$, 所以 $(t,0)$ 在$(t-4,0)$ 的右侧.
由$\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x-t)(x-t+4),x=4$, 得$t_1=5, t_2=7$.
由$1=-\frac{1}{2}(x-t)(x-t+4),x=6$, 得$t_3=8-\sqrt{2}, t_4=8+\sqrt{2}$.
因为$5\lt 8-\sqrt{2}\lt 7\lt 8+\sqrt{2}$,
所以当$t=5$ 时, $L$ 右侧过点$C$;
当$t= 8-\sqrt{2}$ 时, $L$ 右侧过点$D$;
当$t=7$ 时, $L$ 左侧过点$C$;
当$t=8+\sqrt{2}$ 时, $L$ 左侧过点$D$.
所以$5\leq t\leq 8-\sqrt{2}$ 或$7\leq t\leq 8+\sqrt{2}$.
