每日一题: 2020-10-22
题目: 如图, $\triangle ABC$ 的三条中线分别为$AD,BE,CF$, 若$\triangle ABC$ 的面积为$1$,
则以$AD,BE,CF$ 的长度为三边长的三角形的面积等于多少?
参考思路
如图, 过点$C$ 作$CP\parallel AD$, 且$CP=AD$, 连接$AP,PF,EP,FE$
由辅助线作法, 可得四边形 $ADCP$ 为平行四边形, 所以$AP=CD, AP\parallel CD$.
由$D,E,F$ 为$\triangle ABC$ 三边中点, 可得$AP=EF, AP\parallel EF$
所以$AFEP$ 为平行四边形, 则$PE=AF=FB, PE\parallel FB$.
所以$PEBF$ 为平行四边形, 则$BE=FP$.
而$\triangle FPC$ 为以$AD,BE,CF$ 的长度为三边长的三角形.
所以$S_{\triangle FPC}=S_{\triangle FEC}+S_{\triangle FEP}+S_{\triangle CEP}$
$=\frac{1}{4}S_{ABC}+\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}+\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{4}$.
