考虑三角形 ，设 为其 -旁心。设 分别为 在直线 上的投影。证明：如果 ，则 为等边三角形。
参考解答
设 为 旁切圆的半径。由于 分别是 旁切心 在直线 上的投影，因此 到这些直线的距离等于旁切圆半径：
给定条件为 。两边取模：
代入模长 ：
其中 是 与 之间的夹角。化简得：
在四边形 中， 和 处的角均为 （因为它们是投影）。四边形内角和为 ，所以：
由于向量 与 之间的夹角为 ，有 。因此：
在向量方程 中，向量 必在 的角平分线上。直线 是 的内角平分线，同时也是 的角平分线。因此，向量 必与直线 共线。这意味着点 共线。由于 是 在 上的投影，直线 垂直于 。因此， 的内角平分线也是 到 的高。这一对称条件意味着三角形 是等腰三角形，即 ，所以 是等边三角形。