每日一题 2026-03-17

设 为三角形 的垂心， 为三角形 的外接圆半径。证明：三角形 为等边三角形当且仅当

$$\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{HA}=-\frac{3R^2}{2}.$$

参考解答

解析 设 为 的外接圆圆心。根据西尔维斯特定理（Sylvester's Theorem）， 我们有： 充分性： 当为等边三角形时， ，即外心与垂心重合，，所以 ，代入得： 必要性： 当 时， 整理得： 由正弦定理：，代入得： 下证： 不妨设 ，则 为锐角。 当 且 ，即 时取等号。 将 代入 (1) 得： 即 外心与垂心重合。 为等边三角形。 证毕。