题目
过正四面体的一条棱作截面将其分为两个三棱锥，则这两个三棱锥外接球半径之比的范围是 __.
参考解答
解析：
设正四面体 的棱长为 。过点 作 平面 ，垂足为 （即 的中心），取 的中点 ，则 、、 三点共线。以 为原点，平行于 的直线为 轴、 所在直线为 轴、 所在直线为 轴建立空间直角坐标系。
由正四面体性质，，从而
又 平面 ， 平面 ，所以 ，于是
因此四个顶点坐标为
设过棱 的截面与 交于点 ，则可设
记三棱锥 的外接球半径为 、球心为 ；三棱锥 的外接球半径为 、球心为 。由「球心到四个顶点距离相等」得
分别解出（ 对应含 的锥， 对应含 的锥）
于是
当 时，；当 时，分子分母同除以 得
由于 在 与 上均单调递减，且 在 时趋于 、在 时趋于 ，故当 时 ，当 时 。于是
从而
综上 ，开方得
答案：