题目
在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为底面 内一动点（含边界），则下列说法正确的命题有（ ）
A. 若 平面 ，则动点 的轨迹长度为
B. 不存在动点 ，使 平面
C. 若 平面 ，则三棱锥 体积的最大值为
D. 若正方体 的外接球为球 ，则球 被平面 所截截面圆的面积为
参考解答
解析：
以 为原点，射线 、、 分别为 、、 轴正方向建立空间直角坐标系，则
A．取 的中点 、 的中点 ，则 、。因为
所以 ，，从而平面 平面 。
点 的轨迹是过 且平行于平面 的平面与底面 的交线段。由 的对应关系知该交线段即为线段 ，其长度为
故 A 正确。
B．平面 的一个法向量为
取 。设 （，），则
若 平面 ，则 ，于是
解得 ，均在 之外，矛盾。故不存在这样的点 ，B 正确。
C．因为
所以
平面 的方程为 ，点 到该平面的距离为
当 与 重合时 最大，最大值 ，此时
故 C 正确。
D．正方体外接球的球心为 ，半径 。球心到平面 的距离为
故截面圆半径
截面圆面积为
故 D 错误。
答案：