题目
- 空间直角坐标系 - 中，点 ，，定义 。如图，正方体 - 的棱长为 ， 为棱 的中点，点 ， 是平面 内两个动点，，，则线段 长的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
参考解答
解析：
1. 求点 的轨迹
由题意 ，设 （点 在平面 内）。由 得
按 、 的正负分四种情况：
当 ， 时，，即 ；
当 ， 时，，即 ；
当 ， 时，，即 ；
当 ， 时，，即 。
所以点 的轨迹是以 ，，， 为顶点的正方形（在平面 内，中心为 ，边长 ，对角线长 ）。
2. 求点 的轨迹
由正方体棱长为 及 为原点，得 ，，。设 。
因为 ，所以 。
在 中，，，，故 处为直角，于是
在 中，，，，故 处为直角，于是
所以
两边平方并整理：，即
所以点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆（在平面 内）。
3. 求线段 长的取值范围
记圆 的圆心为 ，半径为 。线段 长的最小值 到正方形的距离减去 ，最大值 到正方形距离的最大值加上 。
正方形中心为 ，圆心到正方形中心的距离为
正方形四条边所在直线到 的距离分别为：边 — 所在直线 ，距离 （垂足 在边上）；边 — 上最近点为顶点 ，距离 ；边 — 上最近点为顶点 ，距离 ；边 — 上最近点为顶点 ，距离 。比较得
正方形四个顶点到 的距离分别为 、、、，最大值为
所以
故线段 长的取值范围是 ，选 A。
答案：