每日一题: 2020-09-30
题目: $x,y,z$ 为正实数, 且满足$xyz=1,x+\frac{1}{z}=5,y+\frac{1}{x}=29$, 求$z+\frac{1}{y}$ 的值.
参考思路
分析: 考虑$x+\frac{1}{z},y+\frac{1}{x},z+\frac{1}{y}$ 的乘积, 化不对称为对称.
$5\cdot 29\cdot (z+\frac{1}{y})=(x+\frac{1}{z})(y+\frac{1}{x})(x+\frac{1}{y})=xyz+x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}$
$=1+(x+\frac{1}{z})+(y+\frac{1}{x})+(z+\frac{1}{y})+1=36+(z+\frac{1}{y})$
所以可得$z+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$.