已知三个非零的平面向量 、、 满足以下条件：
求 的最小值。
参考解答
析 条件 表明向量 与 垂直。从几何角度看，若设 ，，，则 ，即 是以 为直角顶点的直角三角形。
解 取 的中点 ，由直角三角形斜边中线性质知
又由向量加法的平行四边形法则，，故
在 中，由三角形两边之和大于第三边，有
即
所以
设 ，则 。令 与 的夹角为 ，则
代入不等式得
设 ，求其最小值。令 ，则
当 时， 取最小值 ，即 。
因此
当 （即 ）且 、、 三点共线时，等号成立。
故 的最小值为 。
【点评】 本题巧妙地利用了几何意义将代数条件转化为直角三角形的性质，再结合三角形不等式和平行四边形法则建立关于 的不等式。关键在于认识到 表示以 为顶点的直角，从而可以运用斜边中线定理。最后通过三角函数求最值，体现了代数与几何的完美结合。