题目
在 中，求证：
参考解答
析：本题为三角形中的三角恒等式证明，可采用几何法。构造 的外接圆，利用圆心角与圆周角的关系，结合面积分割法进行证明。需注意分类讨论锐角三角形与钝角三角形两种情形。
解：
情形一：当 均为锐角时
作 的外接圆 ，设外接圆半径为 。
由圆心角与圆周角的关系：
的面积等于三个小三角形面积之和：
由三角形面积公式 及 （ 为两边夹角）：
由正弦定理 ，，代入左边：
化简得：
两边同除以 ：
情形二：当 其中一个为钝角时
不妨设 为钝角，则 （优弧对应的圆心角）。
此时 的面积关系为：
或用有向面积表示，证明过程类似，结论仍然成立。
综上，原等式得证
【点评】本题用几何法证明三角恒等式，关键步骤：(1) 构造外接圆，利用圆心角与圆周角的关系；(2) 面积分割，将 分割为三个以 为顶点的小三角形；(3) 灵活运用面积公式 和 ；(4) 正弦定理将边长用 和角表示；(5) 分类讨论锐角与钝角情形。此题体现了数形结合思想的妙用。
拓展思考：
1. 能否用纯代数方法（三角恒等变换）证明此结论？
2. 若 为直角三角形，等式是否仍成立？
3. 此恒等式有哪些变形或推广？