高中数学

每日一题：2026-04-13

已知锐角三角形 ABCABC 中，角 A,B,CA,B,C 所对的边分别为 a,b,ca,b,c，△ABC\triangle ABC 的面积为 SS，且

(b2−c2)⋅sin⁡B=2S\left(b^2 - c^2\right) \cdot \sin B = 2S

若 a=kca = kc，则 kk 的取值范围是（ ）

  • A. (1,2)(1, 2)
  • B. (0,3)(0, 3)
  • C. (1,3)(1, 3)
  • D. (0,2)(0, 2)
参考解答

解析：

由三角形面积公式 S=12ac⋅sin⁡BS = \dfrac{1}{2}ac \cdot \sin B，代入已知条件得：

(b2−c2)⋅sin⁡B=2⋅12ac⋅sin⁡B=ac⋅sin⁡B\left(b^2 - c^2\right) \cdot \sin B = 2 \cdot \dfrac{1}{2}ac \cdot \sin B = ac \cdot \sin B

由于 sin⁡B≠0\sin B \neq 0，两边约去 sin⁡B\sin B 得：

b2−c2=ac⇒b2=ac+c2b^2 - c^2 = ac \quad \Rightarrow \quad b^2 = ac + c^2

由余弦定理 b2=a2+c2−2ac⋅cos⁡Bb^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B，代入上式：

ac+c2=a2+c2−2ac⋅cos⁡Bac + c^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B

化简得：ac=a2−2ac⋅cos⁡Bac = a^2 - 2ac \cdot \cos B，即 c=a−2c⋅cos⁡Bc = a - 2c \cdot \cos B

由正弦定理 asin⁡A=csin⁡C\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}，上式化为：

sin⁡C=sin⁡A−2sin⁡C⋅cos⁡B\sin C = \sin A - 2\sin C \cdot \cos B

由于 A=π−(B+C)A = \pi - (B + C)，故 sin⁡A=sin⁡(B+C)\sin A = \sin(B + C)，代入得：

sin⁡C=sin⁡(B+C)−2sin⁡C⋅cos⁡B\sin C = \sin(B + C) - 2\sin C \cdot \cos B

展开 sin⁡(B+C)=sin⁡Bcos⁡C+cos⁡Bsin⁡C\sin(B + C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C：

sin⁡C=sin⁡Bcos⁡C+cos⁡Bsin⁡C−2sin⁡Ccos⁡B\sin C = \sin B \cos C + \cos B \sin C - 2\sin C \cos B

sin⁡C=sin⁡Bcos⁡C−cos⁡Bsin⁡C=sin⁡(B−C)\sin C = \sin B \cos C - \cos B \sin C = \sin(B - C)

由 sin⁡C=sin⁡(B−C)\sin C = \sin(B - C)，且 B,CB, C 均为锐角，得：

C=B−C⇒B=2CC = B - C \quad \Rightarrow \quad B = 2C

因此：

k=ac=sin⁡Asin⁡C=sin⁡(B+C)sin⁡C=sin⁡(3C)sin⁡Ck = \dfrac{a}{c} = \dfrac{\sin A}{\sin C} = \dfrac{\sin(B + C)}{\sin C} = \dfrac{\sin(3C)}{\sin C}

利用三倍角公式展开：

k=sin⁡(2C+C)sin⁡C=sin⁡2Ccos⁡C+cos⁡2Csin⁡Csin⁡Ck = \dfrac{\sin(2C + C)}{\sin C} = \dfrac{\sin 2C \cos C + \cos 2C \sin C}{\sin C}

k=2sin⁡Ccos⁡2C+(2cos⁡2C−1)sin⁡Csin⁡Ck = \dfrac{2\sin C \cos^2 C + (2\cos^2 C - 1)\sin C}{\sin C}

k=2cos⁡2C+2cos⁡2C−1=4cos⁡2C−1k = 2\cos^2 C + 2\cos^2 C - 1 = 4\cos^2 C - 1

由于 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，且 B=2CB = 2C，需满足：

{0<C<π20<2C<π20<π−3C<π2\begin{cases} 0 < C < \dfrac{\pi}{2} \\ 0 < 2C < \dfrac{\pi}{2} \\ 0 < \pi - 3C < \dfrac{\pi}{2} \end{cases}

解得：π6<C<π4\dfrac{\pi}{6} < C < \dfrac{\pi}{4}

故 cos⁡C∈(22,32)\cos C \in \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)，即 cos⁡2C∈(12,34)\cos^2 C \in \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}\right)

因此 k=4cos⁡2C−1∈(1,2)k = 4\cos^2 C - 1 \in (1, 2)

答案： A\displaystyle \boxed{A}