设四边形 四边的长 ，，， 一定，求证：只有当它内接于圆时才有最大面积。
参考解答
析 本题为四边形面积最值问题，采用代数法证明。将四边形分割为两个三角形，利用面积公式和余弦定理建立关系，通过平方相加消去角度变量，分析最值条件。关键结论：当对角互补时面积最大，此时四边形内接于圆。
证明：
设 ，，，，，，则四边形 的面积为：
由余弦定理有：
两式相减得：
由 (1) 得：
(2)、(3) 平方相加，得：
即：
由于 ，，， 均为定值，故当 时， 达到最大值。此时 ，它表明四边形 对角互补，故内接于圆。
【点评】 本题用代数法证明四边形面积最值问题，关键步骤：(1) 分割四边形为两个三角形；(2) 用面积公式表示总面积；(3) 对公共对角线用余弦定理建立等式；(4) 平方相加消去角度变量；(5) 分析 的最值条件。此题体现了代数变形的技巧，结论优美：四边形四边固定时，内接于圆时面积最大。此结论可推广到 边形。
拓展思考：
1. 能否用几何法（如调整法）证明此结论？
2. 圆内接四边形的面积公式（Brahmagupta 公式）是什么？如何推导？
3. 对于 边形，当各边长固定时，何时面积最大？