每日一题：2026-04-15

设四边形 $ABCD$ 四边的长 $a$，$b$，$c$，$d$ 一定，求证：只有当它内接于圆时才有最大面积。

参考解答

析 本题为四边形面积最值问题，采用代数法证明。将四边形分割为两个三角形，利用面积公式和余弦定理建立关系，通过平方相加消去角度变量，分析最值条件。关键结论：当对角互补时面积最大，此时四边形内接于圆。

证明：

设 $BC = a$，$BA = b$，$DA = c$，$DC = d$，$\angle ABC = \alpha$，$\angle ADC = \beta$，则四边形 $ABCD$ 的面积为：

$S = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2}(bc\sin\alpha + ad\sin\beta) \tag{1}$

由余弦定理有：

$AC^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$

$AC^2 = a^2 + d^2 - 2ad\cos\beta$

两式相减得：

$bc\cos\alpha - ad\cos\beta = \frac{1}{2}(b^2 + c^2 - a^2 - d^2) \tag{2}$

由 (1) 得：

$2S = bc\sin\alpha + ad\sin\beta \tag{3}$

(2)、(3) 平方相加，得：

$4S^2 + \frac{1}{4}(b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 = b^2c^2 + a^2d^2 - 2abcd\cos(\alpha + \beta)$

即：

$4S^2 = b^2c^2 + a^2d^2 - \frac{1}{4}(b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 - 2abcd\cos(\alpha + \beta)$

由于 $a$，$b$，$c$，$d$ 均为定值，故当 $\cos(\alpha + \beta) = -1$ 时，$4S^2$ 达到最大值。此时 $\alpha + \beta = \pi$，它表明四边形 $ABCD$ 对角互补，故内接于圆。$\quad\blacksquare$

【点评】 本题用代数法证明四边形面积最值问题，关键步骤：(1) 分割四边形为两个三角形；(2) 用面积公式表示总面积；(3) 对公共对角线用余弦定理建立等式；(4) 平方相加消去角度变量；(5) 分析 $\cos(\alpha+\beta)$ 的最值条件。此题体现了代数变形的技巧，结论优美：四边形四边固定时，内接于圆时面积最大。此结论可推广到 $n$ 边形。

拓展思考：

1. 能否用几何法（如调整法）证明此结论？
2. 圆内接四边形的面积公式（Brahmagupta 公式）是什么？如何推导？
3. 对于 $n$ 边形，当各边长固定时，何时面积最大？