题目
在空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为 的平面的方程为 ，此方程称为平面的点法式方程；整理变形可得 ，此方程称为平面的一般式方程。
已知集合 ，，。
（1）指出集合 和 表示的图形；
（2）求过三点 、、 的平面的点法式方程和一般式方程；
（3）设 中所有点构成的几何体为 ，求 中有公共棱的相邻两个面的夹角的余弦值。
参考解答
解析：
（1）集合 由空间中横坐标 的一切点组成，即 平面。
集合 中，，即空间中与原点 距离恒为 的点的全体，故 表示球心在原点、半径为 的球面。
（2），。
设平面的一个法向量为 ，则
取 ，得 ，即一个法向量为 。
由点法式方程得
整理得一般式方程 。
（3）当 时， 由 确定，其边界是平面 上的三角形 。
一般地，把 、、 中的若干个换成它们的相反数， 的形式不变（这相当于关于坐标平面作对称），于是 的边界由 个三角形组成，它们分别在平面 上。故 是以 、、、、、 这六个点为顶点的正八面体。
取有公共棱 的相邻两个面：面 （其法向量即（2）中的 ）与面 。
对平面 ，，。设其一个法向量为 ，则
取 ，得 、，即 。
因为两个平面的夹角规定在 内，所以取其法向量夹角余弦的绝对值：
答案：（1） 是 平面， 是球心在原点、半径为 的球面；（2）点法式 ，一般式 ；（3）