题目
如图，四边形 由 Rt 和 Rt 拼接而成，其中 ，，，。将 沿 折起。
（1）若 ，求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）当四面体 的表面积最大时，求二面角 的余弦值。
参考解答
解析：
由 、、 得 ；由 、、 得
（1）取 中点 。因为 ，所以中线 也是高，，且 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。折起时 绕 转动，故 始终在过 且垂直于 的平面内。
由 得 。把 沿 、 分解：，于是
设异面直线 与 所成角为 ，则 ，而 ，故 。
在 中 ，，由余弦定理
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 。
（2）以 为原点： 轴沿 方向， 轴在平面 内且垂直于 、指向 一侧， 轴垂直于平面 ，则
其中 正是二面角 的平面角，。
四面体中 与 的面积是定值，分别为 与 ，所以表面积最大等价于 与 的面积之和最大，记这两个面积分别为 、。
由 、、、，用 得
记 ，把根号内配方：
令 ，，对 用加权柯西不等式（把 写成 ）：
再由配方，，于是
两处等号可以同时取到：当 时 、，恰满足加权柯西的取等条件 。
所以当 时四面体表面积最大（最大值为 ），故二面角 的余弦值为 。
答案：（1）；（2）